定积分:

定义:

假设我们现在有一个函数y=f(x),然后这是一个不规则的函数,我们思考怎么去求它从a\to b的面积…

首先有一种很好的方法(黎曼和公式),就是把x轴等分成特别n多小段,然后,我们要求的面积大概就可以表示为:

\sum_{1\to n} f(x_i)\times (x_{i+1}-x_i)

然后我们会发现我们分的段数越多,然后上面的公式越精准,当段数接近无穷大的时候我们就近似认为,那就是这段图形的面积…

然后我们在定积分里,定义了一种式子,来求这段有向面积(为什么有向呢,因为f(x)的大小是不定的)…

\int_{a}^b f(x)dx

我们称f(x)是被积函数,然后后面的dx就表示非常小的一段长,而f(x)就是高…

然后我们根据这是求面积的式子很容易给出它的一些特点:

\int_{a}^b f(x)dx=\int_{a}^c f(x)dx+\int_{c}^b f(x)dx

最精准的定义:(抄的)

\int_{a}^b f(x)dx是由曲线y=f(x),两条垂线x=a,x=b,以及x轴所围成的的有向面积….

然后我们思考如果我们要求的是面积而不是有向面积….

那么式子是不是就变成\int_{a}^b |f(x)|dx了,答案是是的…

定积分的性质

我们在上面已经讲了它的一条性质,就是

\int_{a}^b f(x)dx=\int_{a}^c f(x)dx+\int_{c}^b f(x)dx

然后接下来,还有几条非常重要的性质:

现在我们射y=Cf(x),C是一个常数,那么我们的定积分就可以表示为:

\int_{a}^b Cf(x)dx

然后我们发现其实这个C是可以提出来的,放到定积分最前面….(证明不讲了)

在求解积分的时候,这就是一个小技巧…

第二个性质是和或差的积分等于积分的和或差,什么意思,就是说,我们现在有两个可积函数f(x),g(x),和一段区间a\to b,我们要求定积分,式子如下:

\int_{a}^b (f(x)+g(x))dx

然后我们易得:

\int_{a}^b (f(x)+g(x))dx= \int_{a}^b f(x)dx+\int_{a}^b g(x)dx

积分的定理:

中值定理:

我们现在有一个可积的连续函数,y=f(x),然后我们求以下积分:

\int_{a}^b f(x)dx

我们可以算出在这段区间里f(x)的平均大小,大概是

\frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)dx

因为这段函数是连续的那么说明,上面的式子大于等于这段区间函数的最小值,小于等于最大值,在区间内一定有一个点的函数值等于它….

微积分第一定理:

因为黎曼和公式过于繁琐,所以我们想找一种更为简便的方法…

然后我们现在有一个积分式:

\int_{a}^b f(x)dx

我们接下来要做几件不显而易见的事:

  1. 首先, 把虚拟变量改为 t , 把上述积分表达式写为 \int_{a}^b f(t)dt . 没什么不同 —— 用什么来表示虚拟变量无关紧要.
  2. 然后我们用变量x来替代b从而得到一个新的函数F, 定义F(x)=\int_{a}^x f(t)dt. 最终要求函数 F (b) 的值, 即第 (1) 步中的积分. 但是, 我们首先来看看该怎样理解函数F

然后我们要探究这个新的函数到底有什么用….

我们先对它求个导:

F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^x f(t)dt=\lim\limits_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}

然后根据积分的性质我们可以得到:

F(x+h)-F(x)=\int_{a}^{x+h} f(t)dt-\int_{a}^x f(t)dt =dx\int_{x}^{x+h} f(t)dt

h无限接近0的时候,我们可以把式子变成这样:

\int_{x}^{x+h} f(t)dt\approx hf(x)

然后有:

\lim\limits_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)

F'(x)\approx f(x)

以上就是微积分第一定理.

第一定理的用法

然后让我们来看看,这个不知道有什么用的定理有什么用:

我们现在要求:

\int_{0}^a f(x)dx,f(x)=x^2

然后我们写出其反函数:

F(x)=\int_{0}^x f(t)dt

根据第一定理,我们易得:

F'(x)=f(x)

然后我们找所有导数是f(x)的函数:

g(x)=\frac{x^3}{3}+C

发现他们都可以表示成以上情况,然后C是一个常数,就有:

F(x)=\int_{0}^x f(t)dt=g(x)=\frac{x^3}{3}+C

然后我们求C,直接把x=0带入得,C=0.

F(x)=\int_{0}^x f(t)dt=\frac{x^3}{3}

那我们接下来求\int_{0}^a f(x)dx,就是求F(a)

那么把a带入就是答案了…..

微积分第二定理:

通过上文,我们可以知道.

F(x)=\int_{0}^x f(t)dt

然后我们知道下面这个0是可以变动的…然后我们有一个非常简单的结论:

\int_{a}^b f(x)dx=F(b)-F(a)

首先要求f(x)在区间内是可导的…..

然后我们通常把右边的部分写成F(x)|_a^b的形式

然后这就是微积分第二定理…..

微积分第二定理的用法

同理于上节课,我们现在假设要求:

\int_{a}^b f(x)dx,f(x)=x^2

那么我们求出其反函数:

F(x)=\frac{x^3}{3}

然后根据微积分第二定理

\int_{a}^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)

最后带入数字就得到答案了…

不定积分

其实和定积分差不多我们把原来确定的范围改成不确定的,然后得到以下式子:

\int f(x)dx

我们把它成为f(x)反导数的集合…

然后我们可以得出以下式子:

\int x^2dx=\frac{x^3}{3}+C

然后我们一波反推就有如下结论:

如果\frac{d}{dx}F(x)=f(x),那么\int f(x)dx=F(x)+C

不定积分的性质

我们已经知道了定积分有确定的积分上下界,也就是说定积分是一个值

而不定积分则是一个集合….

但是他们本质上差不多.然后我们可以把性质移植一下.就有:

f(x),g(x)都是可积的情况下,C是一个常数

\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx

\int Cf(x)dx=C\int f(x)dx

然后有关积分的基础知识到这里就完了….

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